ECUACIONES RADICALES

ECUACIONES RADICALES

¿Qué ocurre cuando se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuación?

Para entender las ecuaciones radicales tenemos primero que saber qué ocurre al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuación se obtiene otra ecuación que en general no es  equivalente a la dada, pero toda solución de la primera ecuación es solución de la segunda.

Recuerda que dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se llaman ecuaciones equivalentes.

Recuerda también que cuando a los dos miembros de una ecuación se les suma el mismo número o cuando se multiplican los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero resulta otra ecuación equivalente a la dada.

Consideremos la ecuación \(\large 2x=10\), de solución \(\large x=5\)

Elevando al cuadrado los dos términos resulta la ecuación \(\large 4x^2 = 100\), que tiene por soluciones \(\large x_{1}=5\) y \(\large x_{2}=-5\). Por lo tanto, la ecuación \(\large 4x^2 = 100\) no es equivalente a la ecuación dada.

El número -5 es solución de la ecuación \(\large 4x^2 = 100\), pero no es solución de la ecuación \(\large 2x=10\). Se dice que -5  es una solución extraña, introducida al elevar al cuadrado. Generalmente se toman los valores positivos de la raíz como las soluciones aceptadas.

Observa que la solución \(\large x_{1}=5\) de la primera ecuación \(\large 2x=10\) es también solución de la ecuación \(\large 4x^2 = 100\)

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Ecuaciones radicales o irracionales

Las ecuaciones radicales o irracionales son las que tienen la incógnita bajo una raíz.

Se llaman ecuaciones irracionales a aquellas ecuaciones que tienen la incógnita bajo el signo radical, que se considera siempre positiva.

Para resolver las ecuaciones radicales se procede del siguiente modo:

1) Despejamos el radical cuadrático, es decir, aislamos un radical en uno de los miembros, pasando los restantes términos, radicales o no radicales, al otro miembro.

2) Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación que resulte

3) Desarrollamos el cuadrado y pasamos todos los términos a un miembro

4) Resolvemos la ecuación de segundo grado. (En caso de que exista todavía algún radical más, repetimos el proceso)

5) Comprobamos cuáles de las raíces obtenidas verifican la ecuación dada.

Ejemplo: \(\large \sqrt{x} + 3 = 2x – 3\)

1) Despejamos el radical cuadrático \(\sqrt{x}\)

\(\large \sqrt{x}= 2x – 6\)

2) Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación:

\(\large \left (\sqrt{x} \right )^{2}= \left (2x – 6 \right )^{2}\)

3) Desarrollamos el cuadrado y pasamos todos los términos a un miembro:

\(\large x = 4x^2 -24x + 36\)

\(\large 4x^2 -24x + 36 – x = 0\)

\(\large 4x^2 -25x + 36 = 0\)

4) Resolvemos la ecuación:

\(\LARGE x=\frac{25\pm \sqrt{625-576}}{8}=\frac{25\pm \sqrt{49}}{8}=\frac{25\pm 7}{8}\)

\(\LARGE x_{1}=\frac{25+7}{8}=4\)

\(\LARGE x_{2}=\frac{25-7}{8}=\frac{9}{4}\)

5) Comprobamos cuáles de las raíces obtenidas verifican la ecuación:

• Para \(\large x_{1}=4\)

\(\large \sqrt{x}+ 3=2x-3\)

\(\large \sqrt{4}+ 3=2\cdot 4-3\)

\(\large 2+3=8-3\)

\(\large 5=5\rightarrow x_{1}=4\) es una solución válida

• Para \(\large x_{2}=\frac{9}{4}\)

\(\large \sqrt{x}+ 3=2x-3\)

\(\large \sqrt{\frac{9}{4}}+ 3=2\cdot \frac{9}{4}-3\)

\(\large \frac{3}{2}+ 3=\frac{18}{4}-3\)

\(\large \frac{6+12}{4}=\frac{18-12}{4}\)

\(\large \frac{18}{4}\neq \frac{6}{4}\Rightarrow\) Esta solución no vale; es una solución extraña.

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