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ECUACIONES RADICALES
¿Qué ocurre cuando se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuación?
Para entender las ecuaciones radicales tenemos primero que saber qué ocurre al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuación se obtiene otra ecuación que en general no es equivalente a la dada, pero toda solución de la primera ecuación es solución de la segunda.
Recuerda que dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se llaman ecuaciones equivalentes.
Recuerda también que cuando a los dos miembros de una ecuación se les suma el mismo número o cuando se multiplican los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero resulta otra ecuación equivalente a la dada.
Consideremos la ecuación \(\large 2x=10\), de solución \(\large x=5\)
Elevando al cuadrado los dos términos resulta la ecuación \(\large 4x^2 = 100\), que tiene por soluciones \(\large x_{1}=5\) y \(\large x_{2}=-5\). Por lo tanto, la ecuación \(\large 4x^2 = 100\) no es equivalente a la ecuación dada.
El número -5 es solución de la ecuación \(\large 4x^2 = 100\), pero no es solución de la ecuación \(\large 2x=10\). Se dice que -5 es una solución extraña, introducida al elevar al cuadrado. Generalmente se toman los valores positivos de la raíz como las soluciones aceptadas.
Observa que la solución \(\large x_{1}=5\) de la primera ecuación \(\large 2x=10\) es también solución de la ecuación \(\large 4x^2 = 100\)
Ecuaciones radicales o irracionales
Las ecuaciones radicales o irracionales son las que tienen la incógnita bajo una raíz.
Se llaman ecuaciones irracionales a aquellas ecuaciones que tienen la incógnita bajo el signo radical, que se considera siempre positiva.
Para resolver las ecuaciones radicales se procede del siguiente modo:
1) Despejamos el radical cuadrático, es decir, aislamos un radical en uno de los miembros, pasando los restantes términos, radicales o no radicales, al otro miembro.
2) Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación que resulte
3) Desarrollamos el cuadrado y pasamos todos los términos a un miembro
4) Resolvemos la ecuación de segundo grado. (En caso de que exista todavía algún radical más, repetimos el proceso)
5) Comprobamos cuáles de las raíces obtenidas verifican la ecuación dada.
Ejemplo: \(\large \sqrt{x} + 3 = 2x – 3\)
1) Despejamos el radical cuadrático \(\sqrt{x}\)
\(\large \sqrt{x}= 2x – 6\)2) Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación:
\(\large \left (\sqrt{x} \right )^{2}= \left (2x – 6 \right )^{2}\)3) Desarrollamos el cuadrado y pasamos todos los términos a un miembro:
\(\large x = 4x^2 -24x + 36\) \(\large 4x^2 -24x + 36 – x = 0\) \(\large 4x^2 -25x + 36 = 0\)4) Resolvemos la ecuación:
\(\LARGE x=\frac{25\pm \sqrt{625-576}}{8}=\frac{25\pm \sqrt{49}}{8}=\frac{25\pm 7}{8}\) \(\LARGE x_{1}=\frac{25+7}{8}=4\) \(\LARGE x_{2}=\frac{25-7}{8}=\frac{9}{4}\)5) Comprobamos cuáles de las raíces obtenidas verifican la ecuación:
- Para \(\large x_{1}=4\)
\(\large 5=5\rightarrow x_{1}=4\) es una solución válida
- Para \(\large x_{2}=\frac{9}{4}\)
\(\large \frac{18}{4}\neq \frac{6}{4}\Rightarrow\) Esta solución no vale; es una solución extraña.
CUESTIONARIO
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EJERCICIOS
Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelve.
Ejercicios con ecuaciones radicales
Aquí tienes los ejercicios con ecuaciones radicales.
Solución a los ejercicios
Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.
Resolución de los ejercicios
Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.
PROBLEMAS
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raul zamudio dice
hola, buenas tardes, creo que ya entendi como se resuelven las sumas y restas con radicales, pero mi profesoar ahora me dejo resolver esta operacion y no me queda claro como resolverla pues tiene letras, podrias ayudarme un poco para entender bien (dejo el problema a resolver, no quiero solo resolverlo sino entender como se resuelven), gracias de antemano:
a√12ab+√98b^3 c-5√3a^3 b-b√18bc+a√3ab
claudio yañez dice
profe no tiene videos sobre las ecuaciones en general por favor
Isabel dice
Sólo tengo un vídeo sobre un ejemplo de ecuaciones de segundo grado de momento pero próximamente haré las clases sobre ecuaciones en vídeo.