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ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS
Ecuaciones de grado superior a dos
Las ecuaciones de grado superior a dos son ecuaciones de tercer, cuarto o grado superior sólo pueden resolverse en algunos casos con los conocimientos elementales.
Supongamos que la ecuación está dada en la forma P(x) = 0.
La resolución se basa en la descomposición del polinomio P(x) en factores. Esto lo haremos generalmente utilizando la regla de Ruffini. Hecho esto, basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.
Para que las ecuaciones de tercer grado (o grado superior) se puedan resolver a nivel elemental deben tener alguna raíz entera, que se encuentra entre los divisores del término independiente.
Ejemplo: \(\large x^{3}+2x^{2}-x-2=0\)
Si descomponemos el polinomio \(\large x^{3}+2x^{2}-x-2\) en factores utilizando la regla de Ruffini nos queda:
\(\large \left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )\left ( x+2 \right )=0\)
Después igualamos cada factor a cero y despejamos la x. De ahí obtenemos todas las soluciones:
\(\large x+1=0\rightarrow x=-1\)
\(\large x-1=0\rightarrow x=1\)
\(\large x+2=0\rightarrow x=-2\)
Por lo tanto las soluciones son: x = {-1, 1, 2}
Casos especiales de ecuaciones de grado superior a 2:
Existen casos especiales de ecuaciones de grado superior a 2:
-Ecuaciones bicuadradas
-Ecuaciones tricuadradas
Este tipo de ecuaciones son ecuaciones que se pueden reducir a una ecuación de segundo grado.
Ecuaciones bicuadradas
Se llaman ecuaciones bicuadradas a las ecuaciones de la forma \(\large ax^{4}+bx^{2}+c=0\)
Es decir, las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que carecen de términos de grado impar.
Las ecuaciones bicuadradas también se pueden escribir así:
Una ecuación bicuadrada se puede reducir a una ecuación de segundo grado mediante las sustituciones:
Entonces la ecuación de segundo grado resultante es esta:
Si llamamos z1 y z2 a las soluciones de esta última ecuación, las soluciones de la ecuación bicuadrada serán:
Observa que si z1 y z2 son números positivos, una ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones, que es el número máximo de soluciones posibles.
\(\large x^{4}-13x^{2}+36=0\)
Transformamos esta ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado:
\(\large z^{2}-13z+36=0\) \(\LARGE z=\frac{13\pm \sqrt{169-144}}{2}=\frac{13\pm \sqrt{25}}{2}=\frac{13\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix} z_{1}=\frac{13+5}{2}=9\\ \\ z_{2}=\frac{13-5}{2}=4 \end{matrix}\right.\) \(\large x^{2}=9\Rightarrow x=\sqrt{3}=\pm 3\) \(\large x^{2}=4\Rightarrow x=\sqrt{4}=\pm 2\)Las soluciones de la ecuación bicuadrada son: \(\large x =\left \{ 3,-3, 2,-2\right \}\)
Ecuaciones tricuadradas
Se llaman ecuaciones tricuadradas a las ecuaciones de la forma \(\large ax^{6}+bx^{3}+c=0\) con a > 0
Es decir, las ecuaciones tricuadradas son ecuaciones de sexto grado que carecen de términos de grado quinto, cuarto y segundo.
Las ecuaciones tricuadradas también se pueden escribir así:
Una ecuación tricuadrada se puede reducir a una ecuación de segundo grado mediante las sustituciones:
Entonces la ecuación de segundo grado resultante es esta:
Si llamamos z1 y z2 a las soluciones de esta última ecuación, las soluciones de la ecuación tricuadrada serán:
Ejemplo: \(\large 8x^{6}-63x^{3}-8=0\)
Transformamos esta ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado:
\(\large 8z^{2}-63z-8=0\) \(\LARGE z=\frac{63\pm \sqrt{3.696+256}}{16}=\frac{63\pm \sqrt{4.225}}{16}=\frac{63\pm 65}{16}=\left\{\begin{matrix} z_{1}=\frac{63+65}{16}=8\\ \\ z_{2}=\frac{63-65}{16}=-\frac{1}{8} \end{matrix}\right.\) \(\large x_{1}=\sqrt[3]{z_{1}}\Rightarrow x_{1}=\sqrt[3]{8}=3\) \(\large x_{2}=\sqrt[3]{z_{2}}\Rightarrow x_{2}=\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}\)Las soluciones de la ecuación tricuadrada son: \(\large x=\left \{ 3,-\frac{1}{2} \right \}\)
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