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ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS

Tabla de contenidos

  • 1 ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS
    • 1.1 Ecuaciones de grado superior a dos
    • 1.2 Casos especiales de ecuaciones de grado superior a 2:
      • 1.2.1 Ecuaciones bicuadradas
      • 1.2.2 Ecuaciones tricuadradas
  • 2 CUESTIONARIO
  • 3 EJERCICIOS
    • 3.1 Ejercicios con ecuaciones de grado superior a dos
    • 3.2 Solución a los ejercicios
    • 3.3 Resolución de los ejercicios
  • 4 PROBLEMAS

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS

Ecuaciones de grado superior a dos

Las ecuaciones de grado superior a dos son ecuaciones de tercer, cuarto o grado superior sólo pueden resolverse en algunos casos con los conocimientos elementales.

Supongamos que la ecuación está dada en la forma P(x) = 0.

La resolución se basa en la descomposición del polinomio P(x) en factores. Esto lo haremos generalmente utilizando la regla de Ruffini. Hecho esto, basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

Para que las ecuaciones de tercer grado (o grado superior) se puedan resolver a nivel elemental deben tener alguna raíz entera, que se encuentra entre los divisores del término independiente.

Ejemplo: \(\large x^{3}+2x^{2}-x-2=0\)

Si descomponemos el polinomio \(\large x^{3}+2x^{2}-x-2\) en factores utilizando la regla de Ruffini nos queda:

\(\large \left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )\left ( x+2 \right )=0\)

Después igualamos cada factor a cero y despejamos la x. De ahí obtenemos todas las soluciones:

\(\large x+1=0\rightarrow x=-1\)
\(\large x-1=0\rightarrow x=1\)
\(\large x+2=0\rightarrow x=-2\)

Por lo tanto las soluciones son: x = {-1, 1, 2}


Casos especiales de ecuaciones de grado superior a 2:

Existen casos especiales de ecuaciones de grado superior a 2:

-Ecuaciones bicuadradas

-Ecuaciones tricuadradas

Este tipo de ecuaciones son ecuaciones que se pueden reducir a una ecuación de segundo grado.


Ecuaciones bicuadradas

Se llaman ecuaciones bicuadradas a las ecuaciones de la forma \(\large ax^{4}+bx^{2}+c=0\)

Es decir, las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que carecen de términos de grado impar.

Las ecuaciones bicuadradas también se pueden escribir así:

Ecuación bicuadrada
Ecuación bicuadrada

Una ecuación bicuadrada se puede reducir a una ecuación de segundo grado mediante las sustituciones:

Sustituciones para reducir una ecuación bicuadrada a una ecuación de segundo grado
Sustituciones para reducir una ecuación bicuadrada a una ecuación de segundo grado

Entonces la ecuación de segundo grado resultante es esta:

Ecuación de segundo grado obtenida a partir de una ecuación bicuadrada
Ecuación de segundo grado obtenida a partir de una ecuación bicuadrada

Si llamamos z1 y z2 a las soluciones de esta última ecuación, las soluciones de la ecuación bicuadrada serán:

Soluciones de una ecuación bicuadrada
Soluciones de una ecuación bicuadrada

Observa que si z1 y z2 son números positivos, una ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones, que es el número máximo de soluciones posibles.

\(\large x^{4}-13x^{2}+36=0\)

Transformamos esta ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado:

\(\large z^{2}-13z+36=0\)
\(\LARGE z=\frac{13\pm \sqrt{169-144}}{2}=\frac{13\pm \sqrt{25}}{2}=\frac{13\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix} z_{1}=\frac{13+5}{2}=9\\ \\ z_{2}=\frac{13-5}{2}=4 \end{matrix}\right.\)
\(\large x^{2}=9\Rightarrow x=\sqrt{3}=\pm 3\)
\(\large x^{2}=4\Rightarrow x=\sqrt{4}=\pm 2\)

Las soluciones de la ecuación bicuadrada son: \(\large x =\left \{ 3,-3, 2,-2\right \}\)


Ecuaciones tricuadradas

Se llaman ecuaciones tricuadradas a las ecuaciones de la forma \(\large ax^{6}+bx^{3}+c=0\) con a > 0

Es decir, las ecuaciones tricuadradas son ecuaciones de sexto grado que carecen de términos de grado quinto, cuarto y segundo.

Las ecuaciones tricuadradas también se pueden escribir así:

Ecuación tricuadrada
Ecuación tricuadrada

Una ecuación tricuadrada se puede reducir a una ecuación de segundo grado mediante las sustituciones:

Sustituciones para reducir una ecuación tricuadrada a una ecuación de segundo grado
Sustituciones para reducir una ecuación tricuadrada a una ecuación de segundo grado

Entonces la ecuación de segundo grado resultante es esta:

Ecuación de segundo grado obtenida a partir de una ecuación tricuadrada

Si llamamos z1 y z2 a las soluciones de esta última ecuación, las soluciones de la ecuación tricuadrada serán:

Soluciones de las ecuaciones tricuadradas

Ejemplo: \(\large 8x^{6}-63x^{3}-8=0\)

Transformamos esta ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado:

\(\large 8z^{2}-63z-8=0\)
\(\LARGE z=\frac{63\pm \sqrt{3.696+256}}{16}=\frac{63\pm \sqrt{4.225}}{16}=\frac{63\pm 65}{16}=\left\{\begin{matrix} z_{1}=\frac{63+65}{16}=8\\ \\ z_{2}=\frac{63-65}{16}=-\frac{1}{8} \end{matrix}\right.\)
\(\large x_{1}=\sqrt[3]{z_{1}}\Rightarrow x_{1}=\sqrt[3]{8}=3\)
\(\large x_{2}=\sqrt[3]{z_{2}}\Rightarrow x_{2}=\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}\)

Las soluciones de la ecuación tricuadrada son: \(\large x=\left \{ 3,-\frac{1}{2} \right \}\)


CUESTIONARIO

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CUESTIONARIO


EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.


Ejercicios con ecuaciones de grado superior a dos

Aquí tienes los ejercicios con ecuaciones de grado superior a dos.

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Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

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Resolución de los ejercicios

Los vídeos explicativos sobre la resolución de los ejercicios todavía no están disponibles en este momento.


PROBLEMAS

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Ecuaciones. Conceptos básicos.

Ecuaciones de Primer Grado.

Ecuaciones de Segundo Grado.

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