ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Concepto de ecuación de segundo grado

En esta clase vamos a ver las ecuaciones de segundo grado.

Se llama ecuación de segundo grado con una incógnita a toda ecuación que puede escribirse en forma reducida de esta forma:

\( ax^{2}+bx+c=0\)

donde x es la incógnita y a, b y c son los coeficientes de la ecuación, siendo siempre el coeficiente de a distinto de cero.

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Clasificación de las ecuaciones de segundo grado

En toda ecuación de segundo grado \(\large ax^2 + bx + c = 0 \) siempre se supone que el coeficiente a es distinto de cero (a ≠ 0) porque si a fuera igual a cero (a = 0) resultaría \(\large bx + c = 0\), que es una ecuación de primer grado.

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Ecuaciones completas

Si los coeficientes a, b y c son distintos de cero la ecuación que se obtiene se llama ecuación completa.

Los coeficientes a, b y c son distintos de cero

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Ecuaciones incompletas

Si algunos de los otros coeficientes b o c o los dos son cero, las ecuaciones de segundo grado que se obtienen se llaman ecuaciones incompletas.

Los coeficientes b, c o ambos son cero

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Resolución de ecuaciones de segundo grado

Vamos a ver dos formas distintas de resolver las ecuaciones de segundo grado, dependiendo del tipo de ecuación que tengamos:

• Resolución de las ecuaciones de segundo incompletas
• Resolución de las ecuaciones de segundo grado completas

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Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas

• Resolución de las ecuaciones incompletas de la forma \(\large ax^2 + bx + c = 0\)
• Resolución de las ecuaciones incompletas de la forma \(\large ax^2 + c = 0\)
• Resolución de las ecuaciones incompletas de la forma \(\large ax^2 = 0\)

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Resolución de las ecuaciones incompletas de la forma \(\large ax^2 + bx = 0\)

Sea la ecuación \(\large ax^2 + bx =0\)

Para resolver esta ecuación sacamos el factor común x en el primer miembro:

\(\large x \cdot (ax + b) = 0\)

Para que el producto de los dos números x y ax + b sea cero, uno de los dos números ha de ser cero. Esto puede ocurrir en cualquiera de estos dos casos:

• que \(\large x = 0\)
• que \(\large ax + b = 0 \Rightarrow x = \frac{-b}{a}\)

Entonces las dos soluciones de la ecuación sería:

\(\large x_{1} = 0 \) y \(x_{2} = \frac{-b}{a}\)

Ejemplo: \(\large 3x^2 – 5x = 0\)

Sacamos factor común x en el primer miembro: \(\large x \cdot (3x – 5) = 0\)

Para que el producto de estos dos números x y 3x – 5 sea cero, uno de los dos número ha de ser cero. Esto puede ocurrir si se verifica:

que \(\large x = 0\)

que \(\large 3x – 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}\)

Entonces las dos soluciones de esta ecuación son:

\(\large x_{1} = 0\) y \(\large x_{2} =\frac{5}{3}\)

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Resolución de las ecuaciones incompletas de la forma \(\large ax^2 + c = 0\)

Sea la ecuación \(\large ax^2 + c = 0\)

Despejamos \(\large x^2\) :

\(\large ax^2 = – c\) \(\large x^2 = \frac{-c}{a}\)

Por lo tanto:\(\large x = \pm \sqrt{\frac{-c}{a}}\)

Resolución de la ecuación incompleta

Ejemplo: \(\large 3x^2 – 12 = 0\)

Despejamos \(\large x^2\) :

\(\large x^2 = \frac{12}{3} = 4\) \(\large x = \sqrt{4} = \pm 2\)

Entonces, las soluciones son:

\(\large x_{1} = +2 \) y   \(\large x_{2} = -2 \)

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Resolución de las ecuaciones incompletas de la forma \(\large ax^2 = 0\)

Si los dos coeficientes b y c son cero, resulta la ecuación \(\large ax^2 = 0\) cuya única solución es \(\large x = 0\)

Ejemplo: \(\large 2x^2 = 0\)

\(\large x^2 = \frac{0}{2} = 0\) \(\large x = \sqrt{0} = 0\)

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Resolución de ecuaciones de segundo grado completas

• Utilizando el método de completar cuadrados perfectos
  • Caso 1: Cuando el primer miembro de la ecuación es el cuadrado perfecto de un binomio.
  • Caso 2: Cuando el primer miembro de la ecuación no es un cuadrado perfecto, pero la ecuación se puede transformar en otra cuyo primer miembro es el cuadrado perfecto de un binomio y el segundo miembro es un número positivo.
  • Caso 3: Cuando el primer miembro de la ecuación no es un cuadrado perfecto, pero la ecuación se puede transformar en otra cuyo primer miembro es el cuadrado perfecto de un binomio y el segundo miembro es un número negativo.
• Utilizando la fórmula general de la ecuación de segundo grado

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Resolución de ecuaciones de segundo grado completas por el método de completar cuadrados

Las ecuaciones de segundo grado completas se pueden resolver mediante el método de completar cuadrados.

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Caso 1: Cuando el primer miembro de la ecuación es el cuadrado perfecto de un binomio

Tenemos la ecuación de segundo grado: \(\large x^2 – 12x + 36 = 0\)

\(\large x^2\)  es el cuadrado de x

36 es el cuadrado de 6

12x es el doble de 6 por x

Entonces tenemos que: \(\large x^2 – 12x + 36 = (x-6)^2\)

Por lo tanto, la ecuación \(\large x^2 – 12x + 36 = 0 \) se puede escribir de esta forma:

\(\large (x-6)^2 = 0\)

Despejamos la x:

\(\large x – 6 = \sqrt{0}\) \(\large x – 6 = 0\) \(\large x = 6\)

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Caso 2: Cuando el primer miembro de la ecuación no es un cuadrado perfecto, pero la ecuación se puede transformar en otra cuyo primer miembro es el cuadrado perfecto de un binomio y el segundo miembro es un número positivo.

Tenemos la ecuación de segundo grado: \(\large x^2 – 10x + 16 = 0\)

El polinomio del primer miembro no es un cuadrado perfecto, pero los dos primeros términos, \(\large x^2 – 10x\), recuerdan el cuadrado de \(\large x – 5\), que es:

\(\large (x-5)^2 = x^2 – 10x + 25\)

Vamos a escribir el primer término de la ecuación de forma que figure en ella este cuadrado \(\large (x-5)^2\) :

\(\large x^2 – 10x + 16 = x^2 – 10x + 25 – 25 + 16 = x^2 – 10x + 25 – 9 = (x-5)^2 – 9\)

Sustituimos este término en la ecuación:

\(\large (x-5)^2 – 9 = 0\)

Despejamos x:

\(\large (x-5)^2 = 9\) \(\large x – 5 = \sqrt{9}\) \(\large x – 5 = \pm 3 \) \(\large x = \pm 3 + 5\) \(\large x_{1} = + 3 + 5 = 8\) \(\large x_{2} = – 3 + 5 = 2\)

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Caso 3: Cuando el primer miembro de la ecuación no es un cuadrado perfecto, pero la ecuación se puede transformar en otra cuyo primer miembro es el cuadrado perfecto de un binomio y el segundo miembro es un número negativo

Por ejemplo, en la ecuación \(\large x^2 – 6x + 13 = 0 \) los dos primeros términos, \(\large x^2 – 6x\), recuerdan el cuadrado de \(\large (x – 3)\), que es:

\(\large (x-3)^2 = x^2 – 6x + 9\)

Escribimos la ecuación de forma que figure en ella el cuadrado \(\large (x-3)^2\):

Para ello reescribimos el primer término:

\(\large x^2 – 6x + 13 = x^2 – 6x + 9 – 9 + 13 = (x-3)^2 + 4\)

Y ahora rehacemos la ecuación:

\(\large (x-3)^2 + 4 = 0\)

Despejamos la x:

\(\large (x-3)^2 = – 4\)

Esta última igual igualdad es imposible, porque el cuadrado de todo número real es un número positivo, por lo tanto, la ecuación \(\large x^2 – 6x + 13 = 0\) es una ecuación que no tiene ninguna solución real, ni racional ni irracional

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Resolución de ecuaciones de segundo grado completas utilizando la fórmula general

La fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado es:

La expresión \(\large b^2 – 4ac \) que aparece dentro de la raíz se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones y su naturaleza según el discriminante sea nulo, positivo o negativo. Pueden darse tres casos:

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Caso 1: El discriminante es nulo

Cuando el discriminante es cero, las dos soluciones son iguales, es  decir, la ecuación tiene una única solución. También se dice que la ecuación tiene una raíz doble.

Si \(\large b^2 – 4ac = 0\)

\(\large x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-b+0}{2a}=\frac{-b}{2a}\) \(\large x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-b-0}{2a}=\frac{-b}{2a}\) \(\large x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}\)

Ejemplo: \(\large 4x^2 – 12x + 9 = 0\)

\(\large b^2 – 4ac = 144 – 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 – 144 = 0\) \(\large x_{1}=x_{2}=\frac{12+\sqrt{144-144}}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\)

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Caso 2: El discriminante es positivo

Cuando el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

\(\large b^2 – 4ac > 0\) \(\large m = \sqrt{b^2- 4ac}\) \(\large x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-b+m}{2a}\) \(\large x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-b-m}{2a}\)

\(\large x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow \)Hay dos soluciones distintas

Ejemplo: \(\large 2x^2 – 3x + 1 = 0\)

\(\large x=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{4}=\frac{3\pm \sqrt{1}}{4}=\frac{3\pm 1}{4}\) \(\large x_{1}=\frac{3+1}{4}=\frac{4}{4}=1\) \(\large x_{2}=\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

La ecuación tiene dos soluciones distintas

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Caso 3: El discriminante el negativo

Cuando el discriminante es negativo, la ecuación no tiene ninguna solución rea.

Si \(\large b^2 – 4ac < 0 \Rightarrow \sqrt{b^2- 4ac}\)
no es un número racional ni irracional por lo que no tiene soluciones reales.

Ejemplo: \(\large x^2 – 6x + 13 = 0\)

\(\large x=\frac{6\pm \sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{-16}}{2}\Rightarrow\) La ecuación no tiene soluciones reales (porque no existen raíces reales negativas).

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Propiedades de las soluciones de una ecuación de segundo grado

• Suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado \(\Rightarrow \frac{-b}{a}\)
• Producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado \(\Rightarrow \frac{c}{a}\)

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Suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual al coeficiente de \(\large x\) cambiado de signo. (-b) entre el coeficiente de \(\large x^{2}\) (a).

Demostración:

Vamos a sumar las dos soluciones de la ecuación \(\large ax^2 + bx + c = 0\)

\(\large x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) \(\large x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(\large x_{1}+x_{2}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}\)

Ejemplo: Las soluciones de la ecuación \(\large 2x^2 – 5x + 2 = 0 \) son \(\large x_{1}=2\) y \(\large x_{2}=\frac{1}{2}\)

La suma de las soluciones es:

\(\large x_{1}+x_{2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)

Observa que \(\large \frac{5}{2}\) es igual al coeficiente de x, cambiado de signo y dividido por el coeficiente de \(\large x^{2}\):

\(\large \frac{-(-5)}{2}=\frac{5}{2}\)

Esto mismo ocurre en toda ecuación de segundo grado.

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Producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual al término independiente (c) divido por el coeficiente de \(\large \large x^{2}\) (a)

Demostración

Vamos a multiplicar las dos soluciones de la ecuación \(\large ax^2 + bx + c = 0\)

\(\large x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) \(\large x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) \(\large x_{1}\cdot x_{2}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\left ( \frac{-b}{2a} \right )^{2}-\left (\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^2=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-\left ( b^{2}-4ac \right )}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}\)

Ejemplo: Las soluciones de la ecuación \(\large 2x^2 – 5x + 2 = 0 \) son \(\large x_{1}=2\) y \(\large x_{2}=\frac{1}{2}\)

El producto de las soluciones es:

\(\large x_{1}\cdot x_{2}=2\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Observa que 1 es igual al término independiente dividido por el coeficiente de \(\large x^2\):

\(\large \frac{2}{2}=1\)

Esto mismo ocurre en toda ecuación de segundo grado.

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La ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones

Cuando se conocen la suma y el producto de las soluciones de una ecuación de 2º grado, se puede escribir dicha ecuación poniendo la suma cambiada de signo como coeficiente de x y el producto como término independiente.

Demostración:

Supongamos que de una ecuación de segundo grado \(\large ax^2 + bx + c = 0 \) conocemos la suma S y el producto P de sus dos soluciones:

\(\large S=x_{1}+x_{2} \) \(\large P=x_{1}\cdot x_{2} \)

Si dividimos por a la ecuación obtenemos:

\(\large x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \) [1]

Como la suma S de las soluciones es: \(\large S = \frac{-b }{a}\)
y el producto \(\large P = \frac{c}{a}\) , podemos operar así:

\(\large S =x_{1}+x_{2}= \frac{-b}{a}\Rightarrow \frac{b}{a}=-S\) \(\large P =x_{1}\cdot x_{2}= \frac{c}{a}\Rightarrow \frac{c}{a}=P\)

Sustituimos en [1] y nos queda:

\(\large x^2 – Sx + P = 0\)

que es una fórmula que se aplica a la resolución de problemas numéricos.

Ejemplo:

Halla una ecuación de segundo grado sabiendo que sus soluciones son \(\large x_{1}=3\) y \(\large x_{2}=-7\)

\(\large S = 3 + (-7) = -4\) \(\large P = 3 \cdot (-7) = -21\)

Aplicamos la fórmula \(\large x^2 – Sx + P = 0\):

\(\large x^2 + 4x – 21 = 0\)

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Descomposición del trinomio de segundo grado en producto de factores

Vamos a descomponer en producto  de factores el trinomio de segundo grado \(\large y = ax^2 + bx + c\). Para ello procedemos así:

1) Sacamos el factor común a:

\(\large y=a\cdot \left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )\)

2) Sustituimos \(\large \frac{b}{a}\)  y \(\frac{c}{a}\) por su valor, sabiendo que \(\large \frac{-b}{a}=x_{1}+x_{2}\) y que \(\large \frac{c}{a}=x_{1}\cdot x_{2}\)

\(\large y=a\cdot \left [ x^{2}-\left ( x_{1}+x_{2} \right )x+x_{1}x_{2} \right ]\)

3) Hacemos la operación dentro del paréntesis:

\(\large y=a\cdot \left [ x^{2}- x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2}\right ]\)

4) Sacamos factor común x en \(\large x^{2}-x_{1}x\)  y también sacamos factor común \(\large -x_{2}x+x_{1}x_{2}\)

\(\large y=a\cdot \left [ x\left ( x-x_{1} \right )-x_{2}\left ( x-x_{1} \right ) \right ]\)

5) Finalmente sacamos el factor común \(\large x-x_{1}\) :

\(\large y=a\cdot \left ( x-x_{1} \right )\cdot \left ( x-x_{2} \right )\)

De este modo, el trinomio queda descompuesto en producto de factores:

\(\large ax^2 + bx + c=a\cdot \left ( x-x_{1} \right )\cdot \left ( x-x_{2} \right )\)

Ejemplo: Vamos a descomponer en producto de factores el trinomio \(\large y = 2x^2 – 7x + 3\)

Primero, tenemos que encontrar las soluciones de la ecuación \(\large 2x^2 – 7x + 3 = 0\)

\(\large x=\frac{7\pm \sqrt{49-24}}{4}=\frac{7\pm \sqrt{25}}{4}=\frac{7\pm 5}{4}\) \(\large x_{1}=3\) \(\large x_{2}=\frac{1}{2}\)

Aplicamos la fórmula \(\large ax^2 + bx + c = a \cdot (x – x_{1}) \cdot (x – x_{2})\):

\(\large 2x^{2}-7x+3=2\left ( x-3 \right )\cdot \left ( x-\frac{1}{2} \right )\)

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CUESTIONARIO

¿Cuánto sabes sobre este tema? ¡Haz el cuestionario y compruébalo! Si quieres saber cuánto sabes sobre este tema, prueba a realizar este cuestionario. Al final del cuestionario obtendrás tu puntuación ¡y puedes realizarla cuántas veces quieras!

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EJERCICIOS

Haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en los vídeos que hay a continuación de los ejercicios para ver cómo se resuelven.

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Ejercicios con ecuaciones de segundo grado

Aquí tienes los ejercicios con ecuaciones de segundo grado.

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Solución a los ejercicios

Aquí tienes las soluciones a los ejercicios anteriores.

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Resolución en vídeo de una ecuación de segundo grado

Aquí tienes un ejemplo de resolución de una ecuación de segundo grado.

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PROBLEMAS

Haz clic en el botón de abajo para acceder a los problemas.

PROBLEMAS

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