ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ecuaciones equivalentes

En esta clase vamos a ver las ecuaciones de primer grado.

Observad estas ecuaciones:

En los tres casos, las ecuaciones tienen la misma solución x = 1, por eso se dice que estas tres ecuaciones son equivalentes.

Ahora observad estas otras ecuaciones:

La primera ecuación tiene dos soluciones x = 2 y x = -2.

En cambio, la segunda ecuación sólo tiene una solución x = 2.

En este caso, como no tiene exactamente las mismas soluciones, estas dos ecuaciones NO son equivalentes.

Las ecuaciones equivalentes son las ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones.

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Ecuaciones equivalentes por adición

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma un número cualquiera (positivo o negativo) se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Fijaos en la ecuación 2x + 4 = 8.

La solución de esta ecuación es x = 2

Si sumamos a los dos miembros de la ecuación el mismo número, por ejemplo -4:

La ecuación que resulta es 2x = 4, y esta ecuación tiene como solución x = 2, es decir, tiene la misma solución que la ecuación de la que partimos. Por lo tanto, esta ecuación es equivalente a la primera ecuación.

Observamos que el término +4 ha pasado del primer miembro al segundo y que, a la vez, ha cambiado de signo (ha pasado de tener signo positivo a tener signo negativo). Esta operación recibe el nombre de trasposición de términos.

Todo término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo.

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Ecuaciones equivalentes por multiplicación

Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por un número cualquiera distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Fijaos en la ecuación 2x = 4.

La solución de esta ecuación es x = 2

Si multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el mismo número, por ejemplo por 2:

La ecuación que resulta es 4x = 8, y esta ecuación tiene como solución x = 2, es decir, tiene la misma solución que la ecuación de la que partimos. Por lo tanto, esta ecuación es equivalente a la primera ecuación.

Si dividimos los dos miembros de la ecuación entre el mismo número, por ejemplo entre 2:

La ecuación que resulta es x = 2, y esta ecuación tiene como solución x = 2, es decir, tiene la misma solución que la ecuación de la que partimos. Por lo tanto, esta ecuación es equivalente a la primera ecuación.

Observamos que el número 2 pasa de ser factor en el primer miembro de la ecuación, a ser divisor en el segundo miembro.

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Resolución de ecuaciones de primer grado

Resolver una ecuación es buscar el valor o valores de la incógnita para los cuales la ecuación es cierta.

Para ello debemos aislar la incógnita en un lado del igual (así sabemos su valor). A esto se le llama despejar la incógnita.

Despejar la incógnita de una ecuación es aislar dicha incógnita a uno de los lados del igual. Así obtendremos su valor.

Vamos a ver cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado según la forma que tengan:

• Resoluciones de ecuaciones del tipo x + a= b
• Resolución de ecuaciones del tipo ax = b
• Resolución de ecuaciones del tipo ax + b = c con a ≠ 0
• Resolución de ecuaciones del tipo ax + b = cx + d
• Ecuaciones con paréntesis
• Ecuaciones con denominadores

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Resoluciones de ecuaciones del tipo x + a = b

Para resolver esta ecuación, tenemos que dejar a la x sola a un lado del igual.

En el primer miembro tenemos x + a, y para aislar la x nos sobra el número a.

En este caso vamos a suma -a (el opuesto del término que nos sobra), y así queda aislada la x:

x + a – a = b – a ⇒ Sumamos –a a los dos miembros

Entonces nos queda:

x = b – a ⇒ Ya hemos obtenido el valor de x (hemos resuelto la ecuación)

Observad que de la ecuación x + a = b se puede obtener la ecuación x = b – a pasando el número a del primer miembro al segundo y cambiándolo de signo.

Ejemplo: x + 2 = 4

x + 2 – 2 = 4 – 2

x = 2

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Resolución de ecuaciones del tipo ax = b

Para resolver esta ecuación, tenemos que dejar a la x sola a un lado del igual.

En el primer miembro tenemos ax, y para aislar la x nos sobra el número a.

En este caso vamos a dividir entre a los dos miembros de la ecuación (el inverso del número que está multiplicando a la x), y así queda aislada la x:

\(\LARGE \frac{ax}{a}=\frac{b}{a}\)  ⇒Multiplicamos los dos términos por «\(\LARGE \frac{1}{a}\)» (o lo que es lo mismo, dividimos los dos términos entre a)

Entonces nos queda:

\(\LARGE x=\frac{b}{a}\) ⇒ Ya hemos obtenido el valor de x (hemos resuelto la ecuación)

Observa que el número a pasa de ser factor en el primer miembro de la ecuación a ser divisor en el segundo miembro.

Ejemplo: \(\LARGE 2x=4\)

\(\LARGE \frac{2x}{2}=\frac{4}{2}\)

\(\LARGE x=2\)

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Resolución de ecuaciones del tipo ax + b = c con a ≠ 0

Para resolver este tipo de ecuaciones, tenemos que aislar la x a un lado del igual, entonces hacemos lo siguientes:

1. Pasamos b al segundo miembro (cambiado de signo)

\(\LARGE ax=c-b\)

2. Pasamos «a» dividiendo al segundo miembro (porque está multiplicando a la x)

\(\LARGE x = \frac{c-b}{a}\)

Siempre vamos a pasar para el otro miembro de la ecuación primero las sumas y restas y después las multiplicaciones y divisiones.

Ejemplo:

\(\LARGE 2x+7=13\)

\(\LARGE 2x=13-7\)

\(\LARGE 2x=6\)

\(\LARGE x=\frac{6}{2}\)

\(\LARGE x=3\)

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Resolución de ecuaciones del tipo ax + b = cx + d

Para resolver las ecuaciones con esta forma:

1. Se pasan todos los términos en x a uno de los miembros de la ecuación y todos los términos independientes al otro miembro:

\(\LARGE ax-cx=d-b\)

2. Se reducen los términos semejantes:

\(\LARGE \left ( a-c \right )x=d-b\)

3. Se despeja x:

\(\LARGE x = \frac{d-b}{a-c}\)

Ejemplo: \(\LARGE 6x-4=3x+2\)

\(\LARGE 6x-3x=2+4\)

\(\LARGE 3x=6\)

\(\LARGE x=\frac{6}{3}\)

\(\LARGE x=2\)

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Ecuaciones con paréntesis

Para resolver una ecuación con paréntesis:

1. Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva

2. Se trasponen los términos: los términos en x se pasan todos al primer término y los términos independientes se pasan todos al segundo término.

3. Se reducen los términos semejantes.

4. Se despeja la x

Ejemplo: 2 (7 – x) + 6x = 8 – 5(x – 1) + 8x + 4

1. Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva

14 – 2x + 6x = 8 – 5x + 5 + 8x + 4

2. Se trasponen los términos: los términos en x se pasan todos al primer término y los términos independientes se pasan todos al segundo término.

-2x + 6x + 5x – 8x = 8 + 5 + 4 – 14

(-2 + 6 + 5 – 8)x = 3

1x = 3

x = 3

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Ecuaciones con denominadores

Para resolver ecuaciones con denominadores:

1. Se multiplican los dos miembros por el m.c.m. de los denominadores, y así se suprimen los denominadores

2. Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva

3. Se trasponen los términos: pasamos todos los términos en x a un miembro de la ecuación (generalmente al primer miembro) y todos los términos independientes al otro miembro (generalmente al segundo miembro)

4. Se reducen los términos semejantes.

5. Se despeja la incógnita

Ejemplo: \(\LARGE \frac{3x}{4} + 1 = 7 \cdot \frac{x-2}{6}\)

1. Se multiplican los dos miembros por el m.c.m. de los denominadores, y así se suprimen los denominadores

m.c.m. (4, 6) = 12

\(\LARGE 12\cdot \left (\frac{3x}{4} + 1 \right ) = 12\cdot \left (7 \cdot \frac{x-2}{6} \right )\)

\(\LARGE 12 \cdot \frac{3x}{4} + 12 = \frac{12\cdot 7\cdot (x-2)}{6}\)

\(\LARGE 9x + 12 = 14 (x – 2)\)

2. Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

\(\mathrm{9x + 12 = 14x – 28}\)

3. Se trasponen los términos:

\(\LARGE 9x – 14x = -28 – 12\)

4. Se reducen los términos semejantes:

\(\LARGE (9 – 14)x = – 40\)

\(\LARGE -5x = -40\)

5. Se despeja la incógnita:

\(\LARGE x= \frac{-40}{-5}\)

\(\LARGE x = 8\)

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Problemas con ecuaciones: Método aritmético y método algebraico

Cuando un problema se resuelve utilizando sólo números se dice que se emplea en método aritmético.

Cuando un problema se resuelve utilizando ecuaciones se dice que se emplea el método algebraico.

Los problemas de esta clase se resuelven utilizando ecuaciones de primer grado; por eso se llaman problemas de primer grado.

Ejemplo:

María se gastó los \(\LARGE \frac{3}{4}\) del dinero que tenía y después \(\LARGE \frac{1}{3}\) de lo que quedaba. Al final le quedaron 100 €. ¿Cuánto dinero tenía María al principio?

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Problemas con ecuaciones: Planteamiento, resolución y comprobación

Para resolver un problema por el método algebraico se siguen los siguientes pasos:

1. Planteamiento: Plantear un problema consiste en expresar en una ecuación o en varias ecuaciones la información o condiciones contenidas en el enunciado (plantear la ecuación es crear la ecuación). El valor desconocido en el problema se llama incógnita y se designa por una letra cualquiera (x, y, z, t,…). La incógnita es lo que vamos a calcular.

2. Resolución: Si la ecuación que resulta en el planteamiento es de primer grado se resuelve en la forma que ya conocemos.

3. Comprobación o discusión: Consiste en comprobar si la solución encontrada al resolver la ecuación verifica las condiciones contenidas en el enunciado.

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CUESTIONARIO

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EJERCICIOS

Pulsa el botón «EJERCICIOS» para acceder todos los ejercicios de esta clase y haz estos ejercicios en tu libreta. Una vez que los hayas hecho, comprueba si los has hecho bien mirando las soluciones. Si la solución que has obtenido es la correcta ¡perfecto!, y si no es la correcta no te preocupes, mira en el vídeo de arriba para ver cómo se resuelve el ejercicio.

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PROBLEMAS

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PROBLEMAS

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