PROBLEMA: El área del cuadrado construido sobre la diagonal de otro cuadrado
El área de un cuadrado mide 50 cm2. Sin calcular el valor de la diagonal, ¿cuál es el área del cuadrado construido sobre dicha diagonal?
SOLUCIÓN
Para solucionar este problema primero vamos a dibujar las figuras. Primero dibujamos un cuadrado de diagonal d y después dibujamos otro cuadrado cuyo lado es la diagonal d:
Nos fijamos en el primer cuadrado de lado l. Sabemos que su área es de 50 cm² y su diagonal mide d.
Vamos a poner su diagonal d en función de su área (hacemos esto porque necesitamos poner d, que es el lado del otro cuadrado, en función de un dato conocido, que en este caso es el área del cuadrado pequeño, que vale 50 cm²)
La diagonal d divide al cuadrado pequeño en dos triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusa es la diagonal d y los catetos cada uno de los lados l. Como es un triángulo rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para poner la diagonal en función de los lados:
\( d^{2}=l^{2}+l^{2}\)
\( d^{2}=2\cdot l^{2}\)
Además sabemos que el área del cuadrado es:
\( A =l^{2}\)
Además sabemos que el área del cuadrado vale 50 cm². Entonces sustituimos:
\( d^{2}=2\cdot l^{2}=2\cdot A\)
Despejamos d:
\(d=\sqrt{2\cdot A}\)
Como hemos visto, d es el lado del cuadrado más grande. Entonces el área del cuadrado más grande sera:
\( A’ = d^{2}\)
Como \( d=\sqrt{2\cdot A}\), tenemos que:
\(A’ = \left (\sqrt{2\cdot A} \right )^{2}=2\cdot A=2\cdot 50=100\)
El área del cuadrado construido sobre la diagonal del un cuadrado de área 50 cm² es 100 cm².
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