PROBLEMA: Aproximación a la longitud de la barra de acero
Al medir por primera vez una barra de acero de longitud L, se halla 175,6 cm con un error de 0,5 cm. Al medir otra vez la misma barra se halla 176,2 cm, salvo error de 0,5 cm. Por último, con un instrumento preciso se efectúa una medida de la longitud L con un error de 1 mm. ¿Se puede asegurar a priori en qué intervalo se debe encontrar el resultado de esta tercera medida (en cm)?
SOLUCIÓN
Primera medición: Aproximación a la longitud de la barra de acero
a) La primera medición fue de 175,6 cm con un error de 0,5 cm. Esto quiere decir que el valor aproximado y el error cometido en la primera medición son los siguientes:
\(V_{a1}= 175,6\) cm
\(\varepsilon _{1}= 0,5\) cm
Esto significa que el valor real de la longitud de la barra de acero se encuentra entre 175,6+0,5 y 175,6-0,5, por lo tanto:
\(175,6-0,5\leq V_{r}\leq 175,6+0,5\)
\(175,1\leq V_{r}\leq 176,1\)
Por tanto, según la primera aproximación, el valor real de la longitud de la barra de acero está entre 175,1 cm y 176,1 cm
Segunda medición: Aproximación a la longitud de la barra de acero
b) La segunda medición fue 176,2 cm con un error de 0,5 cm. Esto quiere decir que el valor aproximado y el error cometido en la segunda medición son los siguientes:
\(V_{a2}=176,2 \) cm
\(\varepsilon _{2}= 0,5\) cm
Esto significa que el valor real de la longitud de la barra de acero se encuentra entre 176,2+0,5 y 176,2-0,5, por lo tanto:
\(176,2-0,5\leq V_{r}\leq 176,2+0,5\)
\(175,7\leq V_{r}\leq 176,7\)
Por tanto, según la segunda aproximación, el valor real de la longitud de la barra de acero está entre 175,7 cm y 176,7 cm
Tercera medición: Aproximación a la longitud de la barra de acero
c) El único dato que tenemos sobre la tercera medición es que el error cometido en dicha medición es de 1 mm, por lo tanto:
\(V_{a3}=L \) cm
\(\varepsilon _{3}= 1\) mm
Según los apartados a) y b) sabemos que el valor real de la longitud de la barra de acero se encuentra entre los siguientes valores:
\(175,6-0,5\leq V_{r}\leq 175,6+0,5\) con \(\varepsilon _{1}= 0,5\) cm
\(176,2-0,5\leq V_{r}\leq 176,2+0,5\) con \(\varepsilon _{1}= 0,5\) cm
Vemos en el siguiente gráfico los posibles valores de la longitud real de la barra. La primera medición (representada en azul) engloba todos los posibles valores de la barra utilizando la primera aproximación (desde 175,1 cm hasta 176,1 cm) y la segunda medición (representada en rosa) engloba todos los posibles valores de la barra utilizando la segunda aproximación (desde 175,5 cm hasta 176,7 cm).
Como el valor real de de la longitud de la barra tiene que estar incluido en ambas mediciones, podemos decir que dicho valor está incluido en la intersección de ambos conjuntos, es decir, entre 175,7 cm y 176,1 cm, por lo tanto:
\(175,7\leq V_{r}\leq 176,1\)
El error máximo cometido para esta estimación es la suma de los errores de las estimaciones descritas en a) y b), es decir:
\(\varepsilon _{3}= 0,5 mm+0,5mm=1\) mm
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